LK法の式の導出一般化 - 画像処理ブログ

前回の記事では、LK法の概要と、1次元の信号についてのLK法の式の導出を解説しました。

m-yoshi-1700.hatenablog.com

この記事では、一般化したLK法の式を導出します。

この技術についての投稿は、一つの索引用の記事にまとめられています。全体を俯瞰する場合はそちらを御覧ください。

m-yoshi-1700.hatenablog.com

最終的な目的は、次のLK法の式を導出することです。

LK法の定義

画像を与える関数をF(x)とする、その関数をhだけ動かしたものをG(x)とする。 hの初期値をh0と置いた時、hは以下の式で求められる。

${ \displaystyle \def\vector#1{\mbox{\boldmath $#1$}} \textbf{h} \approx \left[ \sum_{\textbf{x}} ( \frac {\delta F} {\delta \textbf{x}} )^{\mathrm{T}} \left[ G(\textbf{x}) - F(\textbf{x}) \right] \right] \left[ \sum_{\textbf{x}} ( \frac {\delta F} {\delta \textbf{x}} )^{\mathrm{T}} ( \frac {\delta F} {\delta \textbf{x}} ) \right] ^{-1} }$

一般化

前回の記事で導出した式は、1次元の信号について考えたもので、一般化されているわけではありません。

一般化が必要な理由は以下になります。

2次元の導関数は1次元とは定義が違う。
F'(x)=0となる点でhが定義されていない。（F'(x)はhの近似式の分母になっています。）

まず、式(1)を次のように変形します。

${ \displaystyle F'(\textbf{x}) \approx \frac {F(x + h) - F(x)} {h} = \frac {G(x) - F(x)} {h} \tag{1} }$

${ \displaystyle F(x + h) \approx F(x) + hF'(x) \tag{8} }$

※ 式番号は論文と対応させています。

ここで、L₂ normを最小化することを考えます。

${ \displaystyle E = \sum_{x} \left[ F(x + h) - G(x) \right]^{2} }$

誤差を最小化するhを以下の様に置きます。

${ \displaystyle 0 = \frac {\delta E} {\delta h}\\ \approx \frac {\delta} {\delta h} \sum_{x} \left[ F(x) + hF'(x) - G(x) \right]^{2}\\ = \sum_{x} 2F'(x) \left[ F(x) + hF'(x) - G(x) \right] }$

この式を変形し、

${ \displaystyle h \approx \frac {\sum_{x} F'(x) \left[ G(x) - F(x) \right]} {\sum_{x} F'(x)^{2}} \tag{9} }$

この式は基本的には前の記事の式(6)と同じ意味で、w(x) = F'(x)²と置いたものになります。

また、この式は、前の式の式(3)と比較して、F'(x) = 0となる箇所があった場合にも対応しています。

式(3)の場合は、どこか1箇所でもF'(x)=0となる箇所があると成り立たなくなるのに対し、この式は、全てF'(x) = 0となるxの範囲以外は成立します。

式(9)を用いて、前の式(6)を書き直すと次のようになります。

${ \displaystyle h_{0} = 0\\ h_{k + 1} = h_{k} + \left[ \frac {\sum_{x} w(x) F'(x + h_{k})[G(x) - F(x + h_{k})]} {\sum_{x} w(x) F'(x + h_{k})^{2}} \right] \tag{10} }$

こちらで導出は以上になります。

次回は1次元の信号についてのLK法で、パフォーマンスについて解説します。