LK法の解説 2次元への拡張 - 画像処理ブログ

前回までに1次元の場合のLK法の式の導出、その一般化と実装をしてパフォーマンスの検証をしました。

この技術についての投稿は、一つの索引用の記事にまとめられています。
全体を俯瞰する場合はそちらを御覧ください。

m-yoshi-1700.hatenablog.com

こちらの記事では、画像などの2次元の情報についてLK法で解を求める方法を解説します。

2次元への拡張

まず、これまでに求めたLK法の式は以下になります。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} h_{0} &=& 0\\\ h\_{k + 1} &=& h\_{k} + \left[ \frac {\sum\_{x} w(x) F'(x + h\_{k})[G(x) - F(x + h\_{k})]} {\sum\_{x} w(x) F'(x + h\_{k})^{2}} \right] \end{eqnarray} \tag{10} }$

この式を2次元に拡張する上で問題になるのは、Fの導関数を求めている部分です。

2次元の信号について、E2ノルムは以下の様に定義されます。

${ \displaystyle E = \sum_{x \in R} \left[ F(\textbf{x} + \textbf{h}) - G(\textbf{x}) \right]^2 }$

ここで、xとhはn次元のベクトルです。

前回の式(8)の様に線形近似をしていきます。

${ \displaystyle F(\textbf{x} + \textbf{h}) \approx F(\textbf{x}) + \textbf{h} \frac {\delta}{\delta \textbf{x}} F(\textbf{x}) }$

偏微分をして誤差を最小化します。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} 0 &=& \frac {\delta E} {\delta h}\\\ &\approx& \frac {\delta} {\delta \textbf{h}} \sum_{\textbf{x}} \left[ F(\textbf{x}) + \textbf{h} \frac {\delta}{\delta \textbf{x}} F(\textbf{x}) - G(\textbf{x}) \right]^{2}\\\ &=& \sum_{\textbf{x}} 2 \frac {\delta F}{\delta \textbf{x}} \left[ F(\textbf{x}) + \textbf{h} \frac {\delta}{\delta \textbf{x}} F(\textbf{x}) - G(\textbf{x}) \right] \end{eqnarray} }$

式を変形して以下のhを得ます。

${ \displaystyle \textbf{h} \approx \left[ \sum_{\textbf{x}} ( \frac {\delta F} {\delta \textbf{x}} )^{\mathrm{T}} \left[ G(\textbf{x}) - F(\textbf{x}) \right] \right] \left[ \sum_{\textbf{x}} ( \frac {\delta F} {\delta \textbf{x}} )^{\mathrm{T}} ( \frac {\delta F} {\delta \textbf{x}} ) \right]^{-1} }$

これでLK法の式の導出は完了です。

次回は特徴点の抽出についてまとめます。